⭕ ‘삼각함수’는 원의 그림자
– sin, cos가 왜 나왔을까?
삼각함수라고 하면 대부분 이렇게 생각합니다:
“sin, cos, tan… 저 이상한 기호들은 뭐지? 왜 갑자기 각도에서 숫자가 나오는 거야?”
수포자였던 제게도 삼각함수는 낯설고 난해했습니다.
하지만, 어느 날 ‘원의 그림자’라는 비유를 듣고부터 이 함수들이 훨씬 더 직관적으로 다가왔어요.
오늘은 삼각함수가 왜 나왔고, 무엇을 의미하며,
실제로 어디에 쓰이는지까지 쉬운 언어로 풀어보려 합니다.
1. sin과 cos는 ‘단위원’ 위의 그림자
먼저 가장 중요한 그림을 떠올려 봅시다.
좌표평면 위에 반지름이 1인 원(= 단위원, unit circle)을 그려요.
원 위에 점 하나를 찍고, 그 점이 만드는 각도를 기준으로
그 점에서 x축과 y축으로 각각 수직으로 그림자를 내리면,
그 그림자의 길이가 바로:
- 👉 cos(θ): x축으로의 그림자
- 👉 sin(θ): y축으로의 그림자
📐 예시: θ = 0도일 때
점은 (1, 0) → cos(0) = 1, sin(0) = 0
즉, x방향 그림자는 1이고, y방향은 없다
📐 θ = 90도일 때
점은 (0, 1) → cos(90°) = 0, sin(90°) = 1
즉, 삼각함수는 원 위를 도는 점의 ‘그림자 길이’를 말합니다.
복잡한 기호로 보이지만,
결국은 원을 기준으로 좌표의 위치를 표현하는 방식일 뿐이에요.
2. 삼각함수는 파동이다 – 시간의 흐름 속에 움직이는 그림자
단위원에서 점이 회전하면, 그에 따른 **그림자의 길이(sin, cos 값)**도 계속 변합니다. 이걸 시간에 따라 쭉 기록해보면, 어떤 곡선이 나올까요?
바로 파동 곡선(wave)입니다.
- sin(θ)는 위아래로 흔들리는 부드러운 곡선
- cos(θ)도 sin과 모양은 같지만 시작점이 다르죠
⏳ 현실 속 예시:
전기 신호: 교류 전기는 sin 파형- 소리 진동: 음파는 cos 파형
- 물결 움직임: 물리학적 파동 = 삼각함수
삼각함수는 단지 각도와 길이를 나타내는 걸 넘어서,
시간에 따라 변하는 주기적인 현상을 표현하는 가장 대표적인 도구예요.
3. sin과 cos는 왜 필요한가? – 직각삼각형보다 원이 먼저
학교에서는 보통 삼각함수를
“직각삼각형에서, 빗변의 길이에 대한 높이 또는 밑변의 비” 로 가르칩니다.
맞는 설명이지만, 여기서 중요한 걸 놓치고 있죠.
sin과 cos는 단지 삼각형의 비율이 아니라, ‘회전’과 ‘주기’를 표현하는 언어라는 점입니다.
📌 그렇다면, 왜 굳이 sin과 cos를 만들어야 했을까?
1. 원을 좌표로 나타내기 위해
원 위의 점 (x, y)를 각도로 표현하려면 cos(θ), sin(θ)가 필요했어요.
2. 시간에 따라 변하는 물리 현상을 수학적으로 모델링하기 위해
예: 진자 운동, 음파, 전자기파 등 모두 sin/cos 패턴
3. 컴퓨터 그래픽, 공학, 기계 설계에서 회전과 반복을 표현하기 위해
360도 회전을 0~2π 라디안으로 표현 → sin/cos가 기본
🧩 마무리 – 삼각함수는 원의 언어, 세상의 리듬
우리가 일상에서 보는 파동, 진동, 주기적인 움직임들은
모두 단순한 원 위 점의 회전과 그 그림자로 설명될 수 있습니다.
삼각함수는 그저 “각도 → 비율”을 계산하는 함수가 아니라,
세상의 움직임을 기록하는 가장 우아한 수학 언어예요.
그 동안 삼각함수가 어려웠던 이유는…
단지 공식만 외우려고 했기 때문입니다.
그림을 그리고, 원 위의 점을 따라가고, 그림자를 상상해보면
sin과 cos는 더 이상 낯선 기호가 아닙니다.