📈 ‘등비수열’은 번식처럼 늘어나는 수 – 기하급수의 위력
2, 4, 8, 16, 32…
숫자가 커지는 게 너무 빠르다?
이게 바로 등비수열, 일명 '기하급수'입니다.
수학에는 덧셈으로 커지는 수열(등차수열)도 있지만, 곱셈으로 폭발하듯 증가하는 수열이 있습니다.
등비수열은 작게 시작해도 순식간에 엄청난 규모로 커질 수 있는 특성이 있어요.
이번 글에서는 등비수열이 어떤 수열인지, 그리고 우리 일상 속에 어떻게 숨어있는지
‘번식’, ‘확산’, ‘복리’와 같은 예시로 쉽게 풀어보겠습니다.
🔁 등차수열 vs 등비수열 – 다른 성장 방식
🔹 등차수열: 한 걸음씩, 규칙적으로
등차수열은 같은 수를 더하는 수열입니다.
예:
- 2, 4, 6, 8, 10… (공차 2)
- 100, 90, 80, 70… (공차 -10)
수식: aₙ = a₁ + (n-1)d
이런 수열은 선형적(linear) 증가입니다.
매번 일정한 차이로 커지니 예측이 쉽죠.
🔹 등비수열: 배로 늘어나는 폭발적 성장
등비수열은 같은 수를 곱해가며 늘어나는 수열입니다.
예:
- 2, 4, 8, 16, 32… (공비 2)
- 100, 50, 25, 12.5… (공비 0.5)
수식: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
처음에는 별 차이가 없어 보이지만,
몇 단계만 지나면 기하급수적 폭발이 시작됩니다.
🔍 비교 그래프: 선형 vs 기하
📌 → 6번째 항부터 벌써 5배 이상 차이가 납니다!
🦠 현실 속 등비수열 – 바이러스부터 복리까지
🦠 바이러스 확산 – "하나가 둘을, 둘이 넷을"
코로나19처럼 감염병이 번질 때 우리는 흔히 이런 말을 들었습니다.
“확진자 수가 기하급수적으로 늘고 있습니다.”
실제로 바이러스 전파는 등비수열처럼 퍼집니다.
- 1일 차: 1명
- 2일 차: 2명
- 3일 차: 4명
- 4일 차: 8명
- 5일 차: 16명
…
단 며칠 만에 수천 명으로 불어날 수 있는 이유가 바로 등비 증가이기 때문입니다.
💰 복리 이자 – ‘돈이 돈을 버는 구조’
은행에 돈을 넣었을 때 이자를 붙여주는데,
복리 이자는 매번 원금 + 이자를 기준으로 또 이자를 줍니다.
예: 100만원을 연 10% 복리로 5년
- 1년 후: 100 × 1.1 = 110만
- 2년 후: 110 × 1.1 = 121만
- 3년 후: 133.1만
- …
- 5년 후: 약 161만
단리라면 100 + 10×5 = 150만인데, 복리는 161만으로 더 많이 불어납니다.
이것이 바로 등비수열의 마법!
🌱 세포 분열 & 바이럴 마케팅
세포가 2→4→8→16으로 분열- SNS 공유가 1→5→25→125로 증가
이런 구조도 공비 > 1인 등비수열과 같습니다.
작은 시작도, 곱하기로 누적되면 파급력이 어마어마해지는 구조죠.
🧠 등비수열, 어디까지 확장될 수 있을까?
🔢 일반항 & 합 공식
등비수열의 일반항:
aₙ = a × rⁿ⁻¹
합 공식 (n개까지 더한 합):
Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r), (단, r ≠ 1)
이 공식을 쓰면, 수많은 항의 합도 빠르게 구할 수 있어요.
예: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = ?
- 공비 2, a = 2, n = 5
- S₅ = 2(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 2(1 - 32) / -1 = 62
🔁 무한 등비급수
공비가 1보다 작을 경우 (예: 1/2),
무한히 더해도 유한한 값에 수렴합니다.
예: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
→ 2에 수렴
이것이 바로 무한급수의 시작이자, 미적분으로 가는 다리입니다.
📌 정리: 등비수열이 중요한 이유
- 현실의 빠른 변화(성장/확산)를 설명
- 금융, 생명과학, 마케팅에 필수
- 무한 개념, 지수 함수로 확장 가능
✨ 마무리 – 곱셈의 힘, 세상을 바꾼다
등비수열은 단순히 ‘곱하는 수열’이 아닙니다.
세상의 기하급수적 변화,
돈이 불어나는 구조,
정보가 퍼지는 속도,
이 모든 것을 수식 하나로 설명할 수 있게 해줍니다.
덧셈보다 곱셈이 왜 무서운지 이제 숫자만 봐도 느껴지시겠죠?